Mer om funksjoner

Potensfunksjoner

er funksjoner på formelen $$ f(x)=ax^n$$ $$ a \in \R, n \in \N $$

Kunne også tillate brøker som potenser ved $$x^{n \over m} = \sqrt[m]{x^n}$$

En eksponensiell funksjon er en funksjon på form $$f(x)=ca^x, c \in \R , a \in \R$$

Eksponensiell vekst

Eksponensielt henfall

Karbon-14 metoden

Halveringstid

$y = y(t)$ antar eksponensiell
Det vil si at $y=ca^{-\lambda t}$ der c og $\lambda$ er positive reelle tall

$t_1$ ~> $y(t_1)$ $$y(t_1+h)= {1 \over 2} y (t_1)$$ $$h = T_{1/2} = 703 mill år$$ $$y(t + 703 mill år) = {1 \over 2}y(t)$$

Teorem 5.3.1

La $y(t)$ være en størrelse som antar (eller øker) eksponensielt
Antar at y endres med en vekstfaktor b på et tidsintervall med lengde T
Da har vi $$y(t) = y(0)b^{t/T}$$ der y(0) er initial verdi/måling

Ecoli: Dobler hvert 55 min

$$y(t) = y(0)b^{t/T}$$ $$ = 1 (2)^{t/55min}$$ $$ = 2^{t/55}$$

Moore’s law

$ b = 2$ $T = 2år$ $y(0) = 2300$

$$y(t) = 2300(2)^{t/2}$$ $$ 2300 \sqrt{2}^t$$

Karbon-14 metoden

$b = {1 \ 2}$ $T = 5730$ $y(0) = $ $$y(t) = y(0)({1/2})^{t/5730}$$

Gjør en måling ${{c-14}\over{c-12}} = c$

$$ y(t_m) = c = y(0)({1 \over 2})^{tm / 5730} $$