Harmoniske svingninger

Plan

• Hare-Gaupe problemet (3.6.5)
• Harmoniske svingninger
• Addisjon av svingninger

Hare-Gaupe problemet (3.6.5)

I en modell har man gjort følgende antagelser: To dyrearter, hare og gaupe, har henholdvis H og G antall individer. Man antar at H og G svinger harmonisk med en periode på Å år.

1. a) Finn formler for H og G som funksjoner av tiden t
2. b) La N være det samlede antall individer i de to artene. Hvor ofte får N sin største verdi, og hvor stor er verdien da?

verdier	Hare	Gaupe
maks	90.000	50.000
min	10.000	1000
periode	10 år	10 pr

Forskyving på 2 år

a)

$H(t):$ $$M_h = {{90000 + 10000} \over 2} = 50000$$ $$A_h = 90000 - 50000 = 40000$$

$$H(t) = 50000 + 40000 \cos({2\pi \over 10} * t)$$

$G(t):$ $$M_g = {50000 + 10000 \over 2} = 30000$$ $$A_g = {50000 - 30000} = 20000$$ $$P = 10$$

$$G(t) = 30000 + 20000 \cos({2\pi \over 10} (t - 2))$$

b)

$H(t) + G(t)$

Harmoniske svingninger

Hva er harmonisk svinging?

Forskyving av cosinus funksjon

Def: En harmonisk svingning er en funksjon på formlen $$f(t) = M + A * \cos({2\pi \over P}(t-F))$$

• M = middelverdi
• A = amplitude
• P = periode
• F = faseforskyvning

Vertikal transformasjon (y-akse)

• Trig funksjon + C = forskyving i Y aksen
• Trig funksjon * A = utvidelse i Y aksen = change in amplitude $$f(t)=A \cos (t)$$
• Amplitude = max - M

Horisontal transformasjon (x-akse)

• Trig funksjon(F) = forskyving i X aksen $$g(x+1) = f(x)$$ $$f(x)=1/2x$$

$$f(t+1) = \cos(t)$$ $$f(t) = \cos(t-F)$$

• Trig funksjon $$\cos(t+2\pi) = \cos(t)$$ $$f(t) = \cos(2t)$$ $$f(t + \pi) = \cos(2(t + \pi))$$ $$= \cos(2t + 2\pi)$$ $$\cos(2t)$$

Hvordan får vi en periode 10?

p -> $\cos(p(t+10)) = cos(pt)$ $$\cos(pt+p10) = \cos(pt)\cos(p10) - \sin(pt)\sin(p*10)$$ $$\cos(t) = 1, t = 0, t = 2\pi$$ $$\cos(p10) = 1$$ $p10 = 0$ eller $p10 = 2\pi$ $$p={2\pi}/10$$ $$\cos({2\pi\over10}(t+10))$$

$$f(t)*A = \cos(t-f) + M$$

Addisjon av svingninger

Summen av periodiske svinginger med samme periode er også en harmonisk svingning

$$h(t) = M + A * \cos({2\pi \over P}(t-F))$$ $$g(t) = N + …$$

$h(t) + g(t)$

• har middelverdi N + M
• vi kan fjerne periode for nå og gange inn etterpå siden de har samme periode $$h(t) = a \cos((t-f))$$ $$+ g(t) = b \cos((t-g))$$ $$= c * \cos(t-h)$$ Hva er c og h?

$$a\cos(t-f)=a\cos(t)\cos(f)-a\sin(t)\sin(f)$$ $$b\cos(t-g)=b\cos(t)\cos(g)-a\sin(t)\sin(g)$$ $$c\cos(t-h)=c\cos(t)\cos(h)-a\sin(t)\sin(h)$$ -> $(a\cos(f)+b\cos(g))\cos(t) = c\cos(h)\cos(t)$

• $A = (a\cos(f)+b\cos(g))$

$$(a\sin(f)+b\sin(g))\sin(t)=c\sin(h)\sin(t)$$

• $B = (a\sin(f)+b\sin(g))$

$$c\cos(t-h)=A\cos(t)+B\sin(t)$$ $$c\cos(t)\cos(h)-\cos(t)\sin(h)$$

$A=c\cos(h)$ $B=c\sin(h)$

$$A^2+B^2=c^2\cos^2(h)+c^2\sin^2(h)$$ $$= c^2(\cos^2(h)+\sin^2(h))$$ $$=c^2$$

$$\implies c = \sqrt(A^2+B^2)$$