Def: En funksjon på formen $$f(x)=ax^n$$ der $$a \in \R, n \in \N$$

• Partallspotens går mot uendelig begge veier
• Oddetallspotens går mot negative uendelig og uendelig

Kan også tillate brøker som potenser $$f(x)=x^{n \over m}=\sqrt[m]{x^n}$$ Eksempel: $$x^{1 \over 2} = \sqrt{x}$$ $$x^{1 \over 3} = \sqrt[3]{x}$$

Rasjonale funksjoner

Def: Polynom er en funksjon på formen $$P(x)=a_nx^2+a_{n-1}x^{n-1}+…+a_1x+a_0$$ $$n \in \N$$

Def: En rasjonal funksjon av en funksjon på formen $$f(x)={p(x) \over q(x)}$$ der $p(x)$ og $q(x)$ er polynomer Eksempel: $$f(x)={1 \over x}$$ $$p(x)=1, q(x)=x$$ Eksempel: $$f(x)={x^3+5x+1 \over x^2-4}$$ $$x^2-4 = (x-2)(x+2) \implies x \not = 2, x = -2$$

Inverse funksjoner

$$\sqrt[3]{x^3}$$

Det motsatte av en gitt funksjon. En funksjon som nuller ut en gitt funksjon.

Celsius to fahrenheit example

Dersom vi vet temperaturen i celsius er temperaturen i fahrenheit gitt ved denne funksjonen: $$f(x)={9 \over 5}x + 32$$

Hva er den inverse funksjonen til $f(x)$?
Alternativt: Hva er funksjonen der du finner temperaturen i celsius med input fahrenheit temperaturen? $$f(x)=y={9 \over 5}x + 32$$ Løs ligningen for $x$ $${9 \over 5}x = y + 32$$ $$x = {5 \over 9}(y + 32)$$ Her er den inverse funksjonen til $f(x)$ $$g(x) = {5 \over 9}(x + 32)$$

Generell formell $$f: A \to B | g: B \to A$$ $$g(f(x)) = f(x) | f(g(x)) = g(x)$$

Utregning $$f(g(x))=x$$ $$f({5 \over 9}(x-32)) = {9 \over 5}({5 \over 9}(x-32))+32$$ $$= x$$

Def: La $f: A \to B$ være en funksjon. En funksjon $g

\to A$ kalles inversen til $f$, dersom $$f(g(x))=x$$ og $$g(f(x))=x$$

Eksempel: $$f(x)=2x+3$$ $$y-3=2x$$ $${y \over 2} - {3 \over 2} = x$$ $$g(x) = {x \over 2} - {3 \over 2}$$ $g(5)=1$
$x=5$ $f(g(5))=f(1)=5$
$g(f(5))=g(13)=5$

• På visuell graf er den inverse funksjonen den originale funksjonen speilet langs diagonalen $x=y$, $f(x)=x$

Invers av andregradsfunksjoner

$$f(x)=x^2$$ Har $f(x)=x^2$ en invers? Hvis inversen finnes, er det en funksjon $g$ sa $f(g(x))=x, g(f(x))=x$

$$g = \sqrt{x}$$ $$\sqrt{x^2} = g(f(x))$$ $$=x?$$ $$g(f(-1))-g(1)$$ $$=+1$$

• Kan “reddes” ved å kun se på positive tall
• Bare en invers for positive heltall

Ikke alle funksjoner har en invers

Funksjoner som ser ut som en invers funksjon er ikke nødvendigvis en invers funksjon

Injektivitet

“In other words, every element of the function’s codomain is the image of at most one element of its domain.” -Wikipedia

$$f(a)=f(b) \implies a = b$$ Def: En funksjon $f: A \to B$ kalles injektiv dersom $$f(a)=f(b) \implies a=b$$ eller not satt $$a \not = b \implies f(a) \not = f(b)$$

funksjon	injektiv?
$f(x) = x + 2$	Ja
$f(x) = |x| + 2$	Nei

Horisontal linjetest. Dersom alle linjer !!! Skjærer grafen til f i kun 1 eller 0 punkt er f injektiv

Teorem: La f være en funksjon. Dersom f er injektiv, så har f en invers

Eksempel i 3. grad: $$f(x)=x^3-1$$ Har er $f(x)$ injektiv? || Har $f(x)$ en invers?

Finne inversen

$$f(x) = y$$ Løs uttrykket for $x$ $$x = g(y)$$ $g(x)$ er inversen